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Komplexitätstheorie – Vorlesung 1: Zusammenfassung

Prof. Dr. Björn Grohmann | HWR Berlin | 18.02.2026

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1. Turing-Maschinen

Historischer Hintergrund

Alan Turing (geboren 23. Juni 1912 in London, gestorben 8. Juni 1954) studierte Mathematik in Cambridge (B.A. 1934) und promovierte an der Princeton University (Ph.D. 1938) mit der Dissertation „Systems of Logic Based on Ordinals". Er entwickelte das Konzept der Turing-Maschine als abstraktes Berechnungsmodell, das bis heute die Grundlage der theoretischen Informatik bildet.

Formale Definition

Eine Turing-Maschine ist ein 7-Tupel (Q, \Sigma, \Gamma, \delta, q_0, q_{\text{accept}}, q_{\text{reject}}), wobei Q, \Sigma und \Gamma endliche Mengen sind:

1. Q ist die Zustandsmenge (set of states).
2. \Sigma ist das Eingabealphabet, das das Blanksymbol \sqcup nicht enthält.
3. \Gamma ist das Bandalphabet, wobei \sqcup \in \Gamma und \Sigma \subseteq \Gamma.
4. \delta: Q \times \Gamma \rightarrow Q \times \Gamma \times \{L, R\} ist die Übergangsfunktion (transition function).
5. q_0 \in Q ist der Startzustand (start state).
6. q_{\text{accept}} \in Q ist der Akzeptierzustand (accept state).
7. q_{\text{reject}} \in Q ist der Ablehnungszustand (reject state), wobei q_{\text{reject}} \neq q_{\text{accept}}.

Die Turing-Maschine besteht aus einer endlichen Steuerung (control) und einem unendlich langen Band, auf dem Symbole gelesen und geschrieben werden.

Konfiguration

Eine Konfiguration beschreibt den vollständigen Zustand einer TM zu einem Zeitpunkt: Sie umfasst den aktuellen Zustand, den Bandinhalt und die Position des Lese-/Schreibkopfes. Beispiel: Die Konfiguration 1011q_701111 bedeutet, dass sich die Maschine im Zustand q_7 befindet und der Kopf auf dem Zeichen unmittelbar rechts von q_7 steht.

Beispiel: Sprache B = \{w\#w \mid w \in \{0,1\}^*\}

Diese Sprache besteht aus allen Wörtern, die aus zwei identischen Hälften bestehen, getrennt durch ein #-Zeichen. Die TM arbeitet wie folgt:

• Das erste Zeichen der linken Hälfte wird gelesen, durch x ersetzt und gemerkt (Zustand q_1).
• Der Kopf wandert nach rechts über das #-Zeichen zum entsprechenden Zeichen der rechten Hälfte.
• Stimmt das Zeichen überein, wird es ebenfalls durch x ersetzt; der Kopf wandert zurück zum nächsten unmarkierten Zeichen links.
• Dieser Prozess wiederholt sich, bis alle Zeichen abgeglichen sind.
• Wenn am Ende nur $x$-Symbole und ein # auf dem Band stehen und ein Blank erreicht wird → accept.
• Bei jedem Mismatch → reject.

Das Zustandsdiagramm umfasst die Zustände q_1 bis q_8 sowie q_{\text{accept}} (und implizite reject-Pfade, die im Diagramm der Vorlesung weggelassen wurden).

Church-Turing-These

„Jede effektiv berechenbare Funktion kann durch eine Turing-Maschine berechnet werden."

Dies ist keine mathematisch beweisbare Aussage, sondern eine These (Hypothese). Sie wird gestützt durch die Tatsache, dass alle bekannten Berechnungsmodelle (WHILE-Programme, GOTO-Programme, Lambda-Kalkül, Rule 110 Zellularautomaten etc.) äquivalent zur Turing-Maschine sind.

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2. Äquivalente Berechnungsmodelle

WHILE-Programme

WHILE-Programme sind ein einfaches Berechnungsmodell mit folgender Syntax:

• P \rightarrow X := X + C (Inkrement)
• \mid\quad X := X - C (Dekrement, wobei das Ergebnis nicht negativ wird)
• \mid\quad P;\; P (Sequenz)
• \mid\quad \text{WHILE } X \neq 0 \text{ DO } P \text{ END} (Schleife)

WHILE-Programme sind Turing-vollständig, d.h. sie können genau die gleichen Funktionen berechnen wie eine Turing-Maschine.

GOTO-Programme

GOTO-Programme bestehen aus nummerierten Anweisungen M_1: A_1;\; M_2: A_2;\; \ldots;\; M_k: A_k mit den Operationen:

• x_i := x_j + n (Addition einer Konstante)
• x_i := x_j - n (Subtraktion einer Konstante)
• \text{GOTO } M_i (unbedingter Sprung)
• \text{IF } x_i = n \text{ GOTO } M_j (bedingter Sprung)
• \text{HALT} (Programmende)

Auch GOTO-Programme sind äquivalent zu Turing-Maschinen.

Rule 110 (Zellularautomat)

Rule 110 ist ein eindimensionaler Zellularautomat, dessen Übergangsregel durch die Binärdarstellung der Zahl 110 (01101110) definiert wird. Jede Zelle wird basierend auf ihrem eigenen Zustand und den Zuständen ihrer beiden Nachbarn aktualisiert. Es wurde bewiesen, dass Rule 110 Turing-vollständig ist – ein einfacher Zellularautomat kann also universelle Berechnungen durchführen.

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3. Varianten von Turing-Maschinen

Multitape Turing Machine (Mehrband-TM)

Die Übergangsfunktion einer $k$-Band-TM hat die Form:

\delta: Q \times \Gamma^k \rightarrow Q \times \Gamma^k \times \{L, R, S\}^k

Die Maschine verfügt über k separate Bänder mit eigenen Köpfen (Input-Tape mit Read-Only-Head, Work-Tape und Output-Tape mit Read/Write-Heads).

Theorem: Jede Multitape-TM hat eine äquivalente Single-Tape-TM. Die Simulation erfolgt, indem alle Bänder auf einem einzigen Band kodiert werden (getrennt durch #-Symbole), wobei die Kopfpositionen durch markierte Symbole (z.B. Punkte über den Zeichen) dargestellt werden.

Universelle Turing-Maschine (UTM)

Es existiert eine TM \mathcal{U}, die für jede Eingabe x, \alpha \in \{0,1\}^* das Ergebnis \mathcal{U}(x, \alpha) = M_\alpha(x) berechnet, wobei M_\alpha die durch die Gödelnummer \alpha kodierte Turing-Maschine ist.

Die UTM nutzt mehrere Arbeitsbänder: ein Input-Tape, Work-Tapes (Simulation des Arbeitsbandes von M, Beschreibung von M, aktueller Zustand von M) und ein Output-Tape.

Simulationsoverhead: Wenn M_\alpha in T Schritten hält, so hält \mathcal{U}(x, \alpha) in O(CT \log T) Schritten, wobei C eine Konstante ist, die nur von der Alphabetgröße, Bandanzahl und Zustandsanzahl von M_\alpha abhängt.

Nichtdeterministische Turing-Maschine (NTM)

Die Übergangsfunktion einer NTM hat die Form:

\delta: Q \times \Gamma \rightarrow \mathcal{P}(Q \times \Gamma \times \{L, R\})

Statt eines einzigen Nachfolgezustands gibt es eine Menge möglicher Übergänge. Die NTM kann als Maschine mit drei Bändern simuliert werden: Input-Tape, Simulation-Tape und Address-Tape (das die nichtdeterministischen Entscheidungen kodiert).

Theorem: Jede NTM hat eine äquivalente DTM. Jede $t(n)$-Zeit-NTM (mit t(n) \geq n) kann durch eine deterministische TM in Zeit 2^{O(t(n))} simuliert werden — also mit exponentiellem Zeitverlust.

Akzeptanzkriterium: Eine NTM akzeptiert eine Eingabe, wenn mindestens ein Berechnungspfad akzeptiert. Sie lehnt ab, wenn alle Pfade ablehnen.

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4. Laufzeit und Zeitkomplexität

Running Time (deterministisch)

Sei M eine deterministische TM, die auf allen Eingaben hält. Die Laufzeit (running time / time complexity) von M ist die Funktion f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, wobei f(n) die maximale Anzahl von Schritten ist, die M auf einer Eingabe der Länge n benötigt. Man sagt: „M läuft in Zeit $f(n)$" oder „M ist eine $f(n)$-Zeit-Turing-Maschine."

Running Time (nichtdeterministisch)

Sei N eine nichtdeterministische TM, die ein Entscheider ist. Die Laufzeit von N ist die Funktion f: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N}, wobei f(n) die maximale Anzahl von Schritten ist, die N auf irgendeinem Zweig ihrer Berechnung bei einer Eingabe der Länge n benötigt.

Time Constructibility

Eine Funktion t: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{N} mit t(n) \geq O(n \log n) heißt zeitkonstruierbar (time constructible), wenn die Funktion, die den String 1^n auf die Binärdarstellung von t(n) abbildet, in Zeit O(t(n)) berechenbar ist.

Es gibt auch eine alternative Definition, bei der lediglich t(n) \geq n gefordert wird.

Typische zeitkonstruierbare Funktionen sind z.B. n, n \log n, n^2, 2^n.

Overhead-Resultate (Simulationskosten)

Transformation	Zeitoverhead
Alphabetreduktion (beliebiges Alphabet → \{0,1,\sqcup,\triangleright\})	$4 \log
Tape-Reduktion (k Bänder → 1 Band)	5k \cdot T(n)^2
Bidirektionale TM → Unidirektionale TM	4 \cdot T(n)

Zeitkomplexitätsklasse TIME

Sei t: \mathbb{N} \rightarrow \mathbb{R}^+ eine Funktion. Die Zeitkomplexitätsklasse \text{TIME}(t(n)) ist die Menge aller Sprachen, die von einer $O(t(n))$-Zeit-Turing-Maschine entschieden werden können.

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5. Entscheidbarkeit

Turing-erkennbar (rekursiv aufzählbar / semi-entscheidbar)

Eine Sprache heißt Turing-erkennbar (Turing-recognizable), wenn es eine TM gibt, die sie erkennt. Das bedeutet:

• Für w \in L: Die TM akzeptiert.
• Für w \notin L: Die TM lehnt ab oder hält nicht (läuft unendlich lange).

Turing-entscheidbar (rekursiv / entscheidbar)

Eine Sprache heißt Turing-entscheidbar (Turing-decidable), wenn es eine TM gibt, die sie entscheidet. Das bedeutet:

• Für w \in L: Die TM akzeptiert.
• Für w \notin L: Die TM lehnt ab.
• Die TM hält immer (auf jeder Eingabe).

Zusammenhang

Theorem: Eine Sprache ist entscheidbar genau dann, wenn sie sowohl Turing-erkennbar als auch co-Turing-erkennbar ist.

Beweisskizze: Man lässt die TM M_1 (für L) und M_2 (für \overline{L}) parallel auf der Eingabe w laufen. Wenn M_1 akzeptiert → accept; wenn M_2 akzeptiert → reject. Da eine der beiden Maschinen für jede Eingabe irgendwann akzeptiert, hält das Verfahren immer.

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6. Das Halteproblem

A_{\text{TM}} – Die Akzeptanzsprache

A_{\text{TM}} = \{\langle M, w \rangle \mid M \text{ ist eine TM und } M \text{ akzeptiert } w\}

A_{\text{TM}} ist semi-entscheidbar (Turing-erkennbar): Man simuliert M auf w. Wenn M akzeptiert → accept; wenn M ablehnt → reject. Problem: Wenn M nicht hält, hält auch der Simulator nicht.

Theorem: A_{\text{TM}} ist unentscheidbar.

HALT_{\text{TM}} – Das Halteproblem

HALT_{\text{TM}} = \{\langle M, w \rangle \mid M \text{ ist eine TM und } M \text{ hält auf Eingabe } w\}

Theorem: HALT_{\text{TM}} ist unentscheidbar.

Beweis per Diagonalisierung

Der Beweis der Unentscheidbarkeit von A_{\text{TM}} verwendet ein Diagonalisierungsargument (Widerspruchsbeweis):

1. Angenommen, es gibt einen Entscheider H für A_{\text{TM}}.
2. Konstruiere daraus eine Maschine D, die bei Eingabe \langle M \rangle die Maschine H auf \langle M, \langle M \rangle \rangle simuliert und das Ergebnis invertiert.
3. Was passiert bei D(\langle D \rangle)?
   • Falls D akzeptiert → H sagt "D akzeptiert $\langle D \rangle$" → D sollte ablehnen. Widerspruch!
   • Falls D ablehnt → H sagt "D akzeptiert \langle D \rangle nicht" → D sollte akzeptieren. Widerspruch!
4. Also kann H nicht existieren.

Das Diagonalisierungsargument funktioniert über eine Matrix: Die Zeilen sind Turing-Maschinen T_1, T_2, T_3, \ldots, die Spalten sind Eingaben i_1, i_2, i_3, \ldots, und die Einträge (0 oder 1) zeigen, ob T_i die Eingabe i_j akzeptiert. Die Maschine D invertiert die Diagonale — und erzeugt so den Widerspruch, da D als Zeile in der Matrix selbst vorkommen müsste.

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7. Weitere unentscheidbare Probleme

Postsches Korrespondenzproblem (PCP)

Gegeben: Eine endliche Folge von Wortpaaren (x_1, y_1), \ldots, (x_k, y_k) mit x_i, y_i \in \{0,1\}^+ (dargestellt als Dominos mit oberer und unterer Hälfte).

Gefragt: Gibt es eine endliche Folge von Indizes i_1, \ldots, i_n \in \{1, \ldots, k\}, sodass x_{i_1} \ldots x_{i_n} = y_{i_1} \ldots y_{i_n}? (Können Kopien der Dominos so aneinandergelegt werden, dass oben und unten das gleiche Wort steht?)

Das PCP ist unentscheidbar, aber immerhin semi-entscheidbar (man kann systematisch alle Kombinationen durchprobieren).

Benannt nach Emil Leon Post (1897–1957).

Hilberts 10. Problem

David Hilbert formulierte 1900 die Frage: Gibt es ein Verfahren, mit dem man für eine beliebige diophantische Gleichung (Polynomgleichung mit ganzzahligen Koeffizienten) entscheiden kann, ob sie eine ganzzahlige Lösung hat?

Antwort (1970, Matijassewitsch): Nein — dieses Problem ist unentscheidbar.

Probleme der Prädikatenlogik

Problem	Frage	Status
Erfüllbarkeitsproblem	Ist ein prädikatenlogischer Ausdruck A über Signatur S erfüllbar?	semi-entscheidbar, unentscheidbar
Gültigkeitsproblem	Ist A allgemeingültig?	semi-entscheidbar, unentscheidbar
Unerfüllbarkeitsproblem	Ist A unerfüllbar?	semi-entscheidbar, unentscheidbar

Das Erfüllbarkeitsproblem und das Gültigkeitsproblem sind jeweils semi-entscheidbar. Das Unerfüllbarkeitsproblem ist ebenfalls semi-entscheidbar (da es das Komplement des Gültigkeitsproblems ist).

Weitere unentscheidbare Sprachen über TMs

Sprache	Definition	Semi-entscheidbar?
E_{\text{TM}}	\{\langle M \rangle \mid M \text{ ist TM und } L(M) = \emptyset\}	Nein (co-Turing-erkennbar)
EQ_{\text{TM}}	\{\langle M_1, M_2 \rangle \mid L(M_1) = L(M_2)\}	Nein
REGULAR_{\text{TM}}	\{\langle M \rangle \mid L(M) \text{ ist regulär}\}	Nein
MIN_{\text{TM}}	\{\langle M \rangle \mid M \text{ ist eine minimale TM}\}	Nicht einmal semi-entscheidbar

MIN_{\text{TM}} enthält die Beschreibungen aller TMs, für die es keine kürzere äquivalente TM gibt.

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8. Die Klasse P

Definition

\text{P} = \bigcup_k \text{TIME}(n^k)

P ist die Klasse aller Sprachen, die in polynomieller Zeit auf einer deterministischen Single-Tape-Turing-Maschine entscheidbar sind.

Beispiele: Welche Mengen liegen in P?

Menge	In P?	Begründung
\mathbb{N} = \{1, 2, 3, \ldots\}	Ja	Trivial entscheidbar (jede natürliche Zahl akzeptieren)
2\mathbb{N} = \{2, 4, 6, \ldots\}	Ja	Letztes Bit prüfen (gerade Zahl)
\mathbb{P} (Primzahlen)	Ja	AKS-Algorithmus (2002) läuft in Polynomialzeit
\{p + q \mid p, q \in \mathbb{P}\} (Summen von Primzahlen)	Ja	Alle Zerlegungen p + q = n durchprobieren, jeweils Primzahltest
\{p \cdot q \mid p, q \in \mathbb{P}\} (Produkte von Primzahlen)	Ja	Faktorisierung in Polynomialzeit prüfbar (Probedivision genügt, da nur Zerlegung in zwei Primfaktoren gefragt)

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9. Die Klasse NP

Verifier-basierte Definition

Ein Verifier für eine Sprache A ist ein Algorithmus V, sodass:

A = \{w \mid V \text{ akzeptiert } \langle w, c \rangle \text{ für ein Zertifikat } c\}

Ein polynomieller Verifier läuft in polynomieller Zeit bezogen auf die Länge von $w$ (nicht von c).

Eine Sprache A ist polynomiell verifizierbar, wenn sie einen polynomiellen Verifier hat.

Definition von NP

\text{NP} = \text{die Klasse aller Sprachen mit polynomiellen Verifizierern}

Äquivalente Definition über NTMs:

Theorem: Eine Sprache ist in NP genau dann, wenn sie von einer nichtdeterministischen polynomialzeit-TM entschieden wird.

\text{NP} = \bigcup_k \text{NTIME}(n^k)

Kernunterschied P vs. NP

• P = Klasse der Sprachen, deren Mitgliedschaft schnell entschieden werden kann.
• NP = Klasse der Sprachen, deren Mitgliedschaft schnell verifiziert werden kann (gegeben ein passendes Zertifikat).

Beispiele: Welche Mengen liegen in NP?

Menge	In NP?	Begründung
\{p + q \mid p, q \in \mathbb{P}\}	Ja	Zertifikat: die beiden Primzahlen p, q; Verifikation: Summe prüfen + Primzahltests
\{p \cdot q \mid p, q \in \mathbb{P}\}	Ja	Zertifikat: die beiden Primfaktoren; Verifikation: Produkt prüfen + Primzahltests
\{n \in \mathbb{N} \mid n \neq p \cdot q, \; p,q \in \mathbb{P}\} (Primzahlen)	Ja	Zertifikat: n selbst (bzw. AKS-Test); da \mathbb{P} \in \text{P} \subseteq \text{NP}
\text{SAT} (erfüllbare Boolesche Formeln)	Ja	Zertifikat: eine erfüllende Belegung; Verifikation: Formel auswerten
\text{UNSAT} (unerfüllbare Boolesche Formeln)	Unklar	Kein offensichtliches kurzes Zertifikat; vermutlich nicht in NP (liegt in co-NP)

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10. P vs. NP

Die offene Frage

Es ist unbekannt, ob \text{P} = \text{NP} oder \text{P} \subsetneq \text{NP} gilt.

• Falls \text{P} = \text{NP}: Jedes Problem, dessen Lösung effizient überprüfbar ist, wäre auch effizient lösbar.
• Falls \text{P} \neq \text{NP}: Es gibt Probleme, die effizient überprüfbar, aber nicht effizient lösbar sind.

Die meisten Informatiker vermuten \text{P} \neq \text{NP}.

Millennium-Problem

Das P-vs-NP-Problem ist eines der sieben Millennium-Probleme des Clay Mathematics Institute, ausgelobt im Jahr 2000, mit einem Preisgeld von 1 Million US-Dollar für eine Lösung. Von den sieben Problemen wurde bisher nur die Poincaré-Vermutung gelöst (Perelman, 2003).

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11. NP-Vollständigkeit und Reduktionen

Polynomialzeit-berechenbare Funktion

Eine Funktion f: \Sigma^* \rightarrow \Sigma^* heißt polynomialzeit-berechenbar (polynomial time computable function), wenn eine polynomialzeit-TM M existiert, die bei Eingabe w mit f(w) auf dem Band hält.

Polynomialzeit-Reduktion

Eine Sprache A ist polynomialzeit-reduzierbar auf Sprache B (geschrieben A \leq_P B), wenn eine polynomialzeit-berechenbare Funktion f: \Sigma^* \rightarrow \Sigma^* existiert, sodass für alle w gilt:

w \in A \iff f(w) \in B

Die Funktion f heißt Polynomialzeit-Reduktion von A auf B.

Intuition: Wenn A \leq_P B, dann ist B mindestens so schwer wie A. Wenn ich B lösen kann, kann ich auch A lösen (indem ich erst f anwende und dann den Algorithmus für B benutze).

NP-Vollständigkeit (NP-completeness)

Eine Sprache B ist NP-vollständig, wenn zwei Bedingungen erfüllt sind:

1. B \in \text{NP} (das Problem liegt in NP), und
2. Jede Sprache A \in \text{NP} ist polynomialzeit-reduzierbar auf B (d.h. A \leq_P B für alle A \in \text{NP}).

NP-hard (NP-schwer)

Wenn B nur die zweite Bedingung erfüllt (jedes Problem aus NP ist auf B reduzierbar), aber B nicht notwendigerweise selbst in NP liegt, heißt B NP-hard.

Beziehung im Venn-Diagramm

• \text{P} \subseteq \text{NP} \subseteq \text{NP-hard} (als Inklusionskette)
• \text{NP-complete} = \text{NP} \cap \text{NP-hard} (die Schnittmenge)

Wenn man ein NP-hardes Problem effizient lösen könnte, könnte man damit jedes Problem in NP effizient lösen.

Cook-Levin-Theorem

Theorem (Cook 1971, Levin 1973): \text{SAT} ist NP-vollständig.

\text{SAT} = \{\langle \phi \rangle \mid \phi \text{ ist eine erfüllbare Boolesche Formel}\}

Konsequenz: \text{SAT} \in \text{P} \iff \text{P} = \text{NP}.

Das Cook-Levin-Theorem war das erste Resultat, das die Existenz NP-vollständiger Probleme nachwies. Es zeigt: SAT ist das „universelle" Problem in NP — wenn man SAT in Polynomialzeit lösen könnte, wären alle NP-Probleme in Polynomialzeit lösbar.

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12. Die Landschaft der Komplexitätsklassen (Überblick)

Die Vorlesung zeigte das „Landscape of Computational Complexity" (University at Buffalo, 2008), das die Hierarchie der Komplexitätsklassen visualisiert:

• REG ⊂ L ⊂ NL ⊂ P ⊂ NP ⊂ PSPACE ⊂ EXP ⊂ NEXP ⊂ EXPSPACE
• Auf der anderen Seite die Arithmetische Hierarchie: REC ⊂ RE, co-RE, und darüber TOT und höhere Stufen
• Complexity Zoo: Eine Sammlung von über 545 Komplexitätsklassen (gepflegt von Scott Aaronson u.a.)

Wichtige offene Fragen umfassen unter anderem: P ≠ NP, L ≠ NL, NP ≠ co-NP, P ≠ PSPACE, und viele weitere Separierungen.

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Glossar der wichtigsten Begriffe

Begriff	Definition
Turing-Maschine (TM)	Abstraktes Berechnungsmodell mit unendlichem Band, endlicher Steuerung und Lese-/Schreibkopf
Konfiguration	Momentaufnahme einer TM: Zustand + Bandinhalt + Kopfposition
Church-Turing-These	Jede effektiv berechenbare Funktion ist Turing-berechenbar
Multitape TM	TM mit mehreren Bändern; äquivalent zur Single-Tape TM
Universelle TM	TM, die jede andere TM simulieren kann (über deren Gödelnummer)
Gödelnummer	Binäre Kodierung einer Turing-Maschine
NTM	Nichtdeterministische TM; Übergangsfunktion liefert Menge von Möglichkeiten
Zeitkomplexität	Maximale Schrittzahl einer TM auf Eingaben der Länge n
Time constructible	Funktion t(n), deren Wert in O(t(n)) Schritten berechnet werden kann
Turing-erkennbar	TM akzeptiert alle w \in L, kann aber auf w \notin L endlos laufen
Turing-entscheidbar	TM akzeptiert alle w \in L und lehnt alle w \notin L ab (hält immer)
Halteproblem	Frage, ob eine TM auf einer Eingabe hält; unentscheidbar
Diagonalisierung	Beweistechnik: Konstruktion eines Widerspruchs durch Selbstreferenz
PCP	Postsches Korrespondenzproblem; unentscheidbar, aber semi-entscheidbar
P	Klasse der in Polynomialzeit deterministisch entscheidbaren Sprachen
NP	Klasse der in Polynomialzeit verifizierbaren Sprachen
Verifier	Algorithmus, der bei Eingabe (w, c) die Mitgliedschaft von w in L prüft
Polynomialzeit-Reduktion	Transformation A \leq_P B: w \in A \iff f(w) \in B mit f in Polynomialzeit
NP-vollständig	In NP + jedes NP-Problem ist darauf reduzierbar
NP-hard	Jedes NP-Problem ist darauf reduzierbar (muss nicht selbst in NP sein)
SAT	Erfüllbarkeitsproblem für Boolesche Formeln; erstes nachgewiesenes NP-vollständiges Problem
Cook-Levin-Theorem	SAT ist NP-vollständig; SAT ∈ P ⟺ P = NP