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# KO2 – NP-Vollständigkeit, Space Complexity & PSPACE
**Vorlesung:** Prof. Dr. Björn Grohmann, HWR Berlin  
**Datum:** 25.02.2026  
**Folien:** 72–106

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## 1. Hamiltonian Circuit Problem

Das **Hamiltonian Circuit Problem** fragt für einen ungerichteten Graphen, ob ein Rundweg (Hamiltonkreis) existiert, der **jeden Knoten genau einmal** besucht und zum Ausgangspunkt zurückkehrt.

Das Problem ist **NP-vollständig**, und zwar bereits dann, wenn der Graph **planar** (d.h. in der Ebene darstellbar ohne Kantenkreuzungen) und **3-regulär** (jeder Knoten hat genau 3 Nachbarn) ist.

### Reduktion von SAT auf Hamiltonian Circuit

Die NP-Vollständigkeit wird durch eine Konstruktion gezeigt, die eine aussagenlogische Formel in einen Graphen übersetzt. Der konstruierte Graph besitzt genau dann einen Hamiltonkreis, wenn die zugehörige Formel erfüllbar ist.

**Beispielformel:**  
$$F = (x \lor y \lor z) \land (\bar{x} \lor \bar{y} \lor w) \land (y \lor \bar{z} \lor \bar{w})$$

**Konstruktionselemente:**

- **Variablenpfade:** Der linke Weg steht für „wahr", der rechte Weg für „falsch". Ein XOR-Gadget stellt sicher, dass genau einer der beiden Wege zum Pfad gehört.
- **Klausel-Gadgets (OR):** Mindestens eines der drei Literale muss „wahr" sein.
- **Kreuzungs-Gadgets:** Sorgen dafür, dass sich Kanten des Graphen nicht kreuzen (Planarität).

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## 2. Graph-Gadgets im Detail

### Tutte Fragment

Ein spezielles planares Graphfragment mit drei Anschlüssen. Es hat die Eigenschaft, dass ein Hamiltonpfad durch das Fragment stets durch **genau einen** der drei Anschlüsse ein- und austritt. Es wird als Symbol mit einem Pfeil in einem Kreis dargestellt. Es gibt genau **6 mögliche Wege** durch das Fragment.

### Exclusive-OR (XOR) Gadget

Wird aus zwei Tutte-Fragmenten konstruiert. Verbindet zwei Pfade (v→v' und u→u') so, dass ein Hamiltonpfad **genau einen** der beiden Wege nutzen kann, nicht beide. Die zwei möglichen Wege entsprechen den zwei Wahrheitswerten einer Variable.

### Kreuzungs-Gadget (Crossing)

Ermöglicht es, zwei sich kreuzende Kanten planar darzustellen. Wird aus mehreren XOR-Gadgets zusammengesetzt. Hat vier Anschlüsse und erlaubt vier mögliche Wegkombinationen, die den beiden unabhängigen Durchquerungsrichtungen entsprechen.

### OR-Gadget

Verbindet zwei Pfade (v→v' und u→u') so, dass **mindestens einer** der beiden Wege durchlaufen werden muss. Es gibt insgesamt 5 mögliche Wege (alle Kombinationen außer „keiner").

### Triple-OR-Gadget

Erweitert das OR-Gadget auf drei Eingänge (u→u', v→v', w→w'). Mindestens einer der drei Wege muss durchlaufen werden. Wird für 3-SAT-Klauseln mit drei Literalen benötigt.

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## 3. MINESWEEPER ist NP-vollständig

Die NP-Vollständigkeit von Minesweeper wird gezeigt, indem man logische Schaltkreise innerhalb eines Minesweeper-Spielfelds simuliert.

### Grundidee

In einem Minesweeper-Feld können Zellen entweder Minen enthalten oder nicht. Die Zahlen in aufgedeckten Zellen geben an, wie viele Minen sich in den benachbarten Zellen befinden. Man nutzt Variablen x und x' (Komplement), wobei x=Mine und x'=keine Mine (oder umgekehrt) einer Wahrheitsbelegung entspricht.

### Bausteine der Reduktion

- **Wire (Draht):** Ein horizontales Muster aus 5 Zeilen, in dem sich x und x' abwechseln. Die Randbedingungen (Zahlen 0 und 1) erzwingen, dass der Wahrheitswert konsistent entlang des Drahtes weitergeleitet wird.
- **NOT-Gate:** Invertiert den Wahrheitswert eines Drahtes. Nutzt ein Muster mit Zahlen 2, 3 und Pflichtminen (*), sodass aus x am Eingang x' am Ausgang wird.
- **Phase-Changer:** Besteht aus zwei NOT-Gates hintereinander. Verschiebt die Phase des Signals, ohne den Wahrheitswert zu ändern.
- **Wire Crossing:** Ermöglicht es, zwei Drähte zu kreuzen, ohne dass ihre Signale interferieren. Wird mit drei XOR-Gates realisiert.
- **XOR-Gate:** Kann aus AND- und NOT-Gates zusammengebaut werden (Standardkonstruktion: $A \oplus B = (A \land \lnot B) \lor (\lnot A \land B)$, äquivalent mittels NAND-Darstellung).
- **AND-Gate:** Ein komplexes Muster (Figure 13), das zwei Eingangsdrähte U und V mit einem Ausgangsdraht T verbindet. Enthält feste Minen (*) und variable Zellen, deren Belegung durch die Zahlenbedingungen erzwungen wird.

### Gesamtargumentation

Da man mit Wires, NOT, AND (und daraus abgeleitet OR, XOR) beliebige Boolesche Schaltkreise bauen kann, lässt sich jede SAT-Instanz als Minesweeper-Konfiguration kodieren. Die Frage „Gibt es eine konsistente Minenbelegung?" entspricht der Frage „Ist die Formel erfüllbar?". Da SAT NP-vollständig ist, ist auch Minesweeper NP-vollständig.

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## 4. „Gaming is Hard" – NP-Härte von Videospielen

### Metatheorem 1: Location Traversal + Single-Use Paths

Jedes Spiel, das **Location Traversal** (bestimmte Punkte müssen erreicht werden) und **Single-Use Paths** (Wege können nur einmal benutzt werden) aufweist, ist **NP-hard**.

**Beweisskizze:** Man baut einen Level, der einen planaren, 3-regulären Graphen darstellt. Die Knoten sind die Punkte, die besucht werden müssen. Jede Kante ist ein Single-Use Path. Ein zusätzlicher Endpunkt wird mit dem Startknoten verbunden. Der Level ist genau dann lösbar, wenn ein Hamiltonkreis existiert.

### Metatheorem 2: Tokens, Toll Roads, Location Traversal

Ein Spiel ist **NP-hard**, wenn eine der folgenden Bedingungen gilt:

- **(a)** Das Spiel hat **collectible tokens**, toll roads und location traversal.
- **(b)** Das Spiel hat **cumulative tokens**, toll roads und location traversal. (Spieler startet mit n+1 tokens.)
- **(c)** Das Spiel hat collectible cumulative tokens, **toll roads**, und der Avatar muss einen Ausgang erreichen. (2 tokens pro Punkt, jede Kante ist eine toll road, die Kante zwischen Start und Ende ist eine Sequenz von n toll roads.)

**Beispiel:** Pac-Man – Power Pills sind tokens, Geisterkorridore sind toll roads.

### Metatheorem 3: Keys, Doors, One-Way Paths

Ein Spiel ist **NP-hard**, wenn es **doors** und **one-way paths** enthält und eine der folgenden Bedingungen gilt:

- **(a)** Collectible keys und location traversal.
- **(b)** Cumulative keys und location traversal.
- **(c)** Collectible cumulative keys und der Avatar muss einen Ausgang erreichen.

Funktioniert genau wie Metatheorem 2, wobei keys = tokens und doors = toll roads.

### Metatheorem 4: Doors + Pressure Plates

Wenn ein Spiel **doors** und **pressure plates** (Druckplatten, die Türen öffnen oder schließen) enthält und der Avatar einen Ausgang erreichen muss, dann ist das Spiel **NP-hard** – selbst wenn keine zwei Druckplatten dieselbe Tür steuern.

**Konstruktion:** Wie bei MT 1, aber vor dem Ausgang befinden sich n Türen, die jeweils durch eine Druckplatte bei einem der Punkte geöffnet werden müssen. Single-Use Paths werden durch Druckplatten realisiert, die beim zweiten Durchgang den Weg versperren.

### Metatheorem 5: Doors + k-Buttons

Buttons sind wie Druckplatten, aber der Spieler kann **entscheiden**, ob er den Button drückt. Ein k-Button beeinflusst k Türen gleichzeitig.

Wenn ein Spiel **doors** und **k-buttons** enthält und der Avatar einen Ausgang erreichen muss, dann ist das Spiel **NP-hard** für $k \geq 2$.

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## 5. Übersicht NP-vollständiger Probleme

Alle folgenden Probleme sind NP-vollständig und liegen damit in der Schnittmenge von NP und NP-hard:

- **SAT** (Erfüllbarkeitsproblem aussagenlogischer Formeln)
- **Hamiltonkreis**
- **Traveling Salesman Problem (TSP)**
- **Knapsack** (Rucksackproblem)
- **MINESWEEPER**
- und viele weitere (Karp's Liste mit 21 Problemen)

### Karp's Liste (1972)

Richard Karp bewies 1972, dass 21 Probleme NP-vollständig sind, ausgehend von SAT. Die Reduktionskette verläuft u.a.:

SATISFIABILITY → CLIQUE → NODE COVER → {FEEDBACK NODE SET, FEEDBACK ARC SET, DIRECTED HAMILTON CIRCUIT → UNDIRECTED HAMILTON CIRCUIT}

SATISFIABILITY → 0-1 INTEGER PROGRAMMING → SET PACKING → SET COVERING

SATISFIABILITY WITH AT MOST 3 LITERALS PER CLAUSE → CHROMATIC NUMBER → {EXACT COVER → {3-DIMENSIONAL MATCHING, KNAPSACK → {SEQUENCING, PARTITION → MAX CUT}}, HITTING SET, STEINER TREE, CLIQUE COVER}

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## 6. Space Complexity

### Definition

Die **Speicherkomplexität (Space Complexity)** einer deterministischen Turingmaschine M ist die Funktion $f: \mathbb{N} \to \mathbb{N}$, wobei $f(n)$ die **maximale Anzahl an Bandzellen** ist, die M auf irgendeiner Eingabe der Länge n besucht.

Für eine **nichtdeterministische** Turingmaschine ist $f(n)$ die maximale Anzahl an Bandzellen, die M auf **irgendeinem Berechnungspfad** für eine Eingabe der Länge n besucht.

**Anmerkung:** In der Literatur wird manchmal angenommen, dass die TM ein separates Eingabe- und Arbeitsband besitzt und nur die Zellen auf dem Arbeitsband gezählt werden.

### Speicherkomplexitätsklassen

$$\text{SPACE}(f(n)) = {L \mid L \text{ wird von einer det. TM in } O(f(n)) \text{ Speicher entschieden}}$$

$$\text{NSPACE}(f(n)) = {L \mid L \text{ wird von einer nichtdet. TM in } O(f(n)) \text{ Speicher entschieden}}$$

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## 7. Savitch's Theorem

**Satz (Savitch):** Für jede Funktion $f: \mathbb{N} \to \mathbb{R}^+$ mit $f(n) \geq n$ gilt:

$$\text{NSPACE}(f(n)) \subseteq \text{SPACE}(f^2(n))$$

Der Satz gilt auch für $f(n) \geq \log(n)$.

### Beweisskizze

Gegeben eine nichtdeterministische TM N, die Sprache A mit Speicher $f(n)$ entscheidet, konstruieren wir eine deterministische TM M, die A in $O(f(n)^2)$ Speicher entscheidet:

**Kernidee – CANYIELD-Prozedur:**  
CANYIELD$(c_1, c_2, t)$ entscheidet, ob Konfiguration $c_2$ von Konfiguration $c_1$ in $t$ Schritten erreicht werden kann.

- **Basisfall** ($t=1$): Prüfe direkt, ob $c_1 = c_2$ oder ob $c_1$ in einem Schritt zu $c_2$ führt.
- **Rekursion** ($t > 1$): Für jede mögliche Zwischenkonfiguration $c_m$: Prüfe CANYIELD$(c_1, c_m, t/2)$ und CANYIELD$(c_m, c_2, t/2)$.

**Speicheranalyse:**

- Jede Rekursionsebene benötigt $O(f(n))$ Speicher (für die Zwischenkonfiguration).
- Die Rekursionstiefe beträgt $O(\log t)$, wobei $t \leq 2^{d \cdot f(n)}$ für eine Konstante d.
- Gesamtspeicher: $O(f(n)) \cdot O(\log t) = O(f(n)) \cdot O(f(n)) = O(f(n)^2)$.

Da $f(n)$ zu Beginn nicht bekannt ist, testet M nacheinander $f(n) = 1, 2, 3, \ldots$

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## 8. PSPACE

### Definition

**PSPACE** ist die Klasse aller Sprachen, die von einer deterministischen Turingmaschine in **polynomiellem Speicher** entschieden werden können:

$$\text{PSPACE} = \bigcup_k \text{SPACE}(n^k)$$

### Beziehung zwischen Zeit- und Speicherkomplexität

$$P \subseteq NP \subseteq PSPACE = NPSPACE \subseteq EXPTIME = \bigcup_k \text{TIME}(2^{n^k})$$

Die Gleichheit $\text{PSPACE} = \text{NPSPACE}$ folgt aus Savitch's Theorem (quadratischer Blow-up bei der Speicherkomplexität ist polynomiell).

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## 9. PSPACE-Vollständigkeit

### Definition

Eine Sprache B ist **PSPACE-complete**, wenn:

1. $B \in \text{PSPACE}$
2. Jedes $A \in \text{PSPACE}$ ist in polynomieller Zeit auf B reduzierbar.

Erfüllt B nur Bedingung 2, heißt B **PSPACE-hard**.

### TQBF ist PSPACE-vollständig

$$TQBF = {\langle \phi \rangle \mid \phi \text{ ist eine wahre, voll quantifizierte Boolesche Formel}}$$

**Theorem:** TQBF ist PSPACE-complete.

Eine voll quantifizierte Boolesche Formel hat die Form $\forall x_1 \exists x_2 \forall x_3 \ldots \phi(x_1, x_2, x_3, \ldots)$, wobei alle Variablen gebunden sind. TQBF fragt, ob eine solche Formel wahr ist.

TQBF verallgemeinert SAT: Während SAT nur Existenzquantoren hat ($\exists x_1 \exists x_2 \ldots$: „Gibt es eine erfüllende Belegung?"), erlaubt TQBF auch Allquantoren. Diese Erweiterung macht das Problem härter – von NP-vollständig zu PSPACE-vollständig.

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## Zusammenfassung der Komplexitätsklassen

|Klasse|Beschreibung|Beispiel|
|---|---|---|
|**P**|Deterministisch in polynomieller Zeit lösbar|Sortieren, kürzeste Wege|
|**NP**|Nichtdeterministisch in polynomieller Zeit lösbar (Lösung in Polynomialzeit verifizierbar)|SAT, Hamiltonkreis, TSP, Knapsack, Minesweeper|
|**PSPACE**|Deterministisch in polynomiellem Speicher lösbar|TQBF|
|**EXPTIME**|Deterministisch in exponentieller Zeit lösbar|Generalisiertes Schach|
|**NP-hard**|Mindestens so schwer wie jedes Problem in NP|Alle NP-vollständigen Probleme + weitere|
|**NP-vollständig**|In NP und NP-hard|SAT, Hamiltonkreis, TSP, Knapsack, Minesweeper|
|**PSPACE-vollständig**|In PSPACE und PSPACE-hard|TQBF|