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Datenbanken/Zusammenfassungen/c_Algebra - zusammenfassung.md

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+# Relationale Algebra – Zusammenfassung
+**Dozent:** A. Zimmermann | HWR Berlin | 2026 | **Folien 1–16**
+
+---
+
+## 1. Definitionen (Folien 1–3)
+
+### Formale Sprachen für Relationen
+
+Es gibt zwei formale Sprachen für die Behandlung von Relationen:
+
+| Sprache | Beschreibung |
+|---|---|
+| **Relationale Algebra** | Definiert Operationen über Relationen; Ergebnis ist wieder eine Relation (Geschlossenheit). Definiert **was** man will, nicht **wie** |
+| **Relationenkalkül** | Deklarative Beschreibung gewünschter Ergebnisse |
+
+Die relationale Algebra bildet die **Basis für SQL** (Structured Query Language).
+
+**Beispiele Relationenkalkül:**
+```
+{ k | k ∈ KUNDEN ∧ k.STATUS = "Aktiv" }
+{ [a.NAME, f.TITEL] | a∈ACTOR ∧ f∈FILM ∧ a.ID=f.A_ID }
+```
+
+### Grundoperatoren (vollständiger Satz)
+
+| Operator | Notation | Beschreibung |
+|---|---|---|
+| **Selektion** | σ_Prädikat(Relation) | Zeilen filtern nach Bedingung |
+| **Projektion** | π_Attribute(Relation) | Spalten auswählen |
+| **Kartesisches Produkt** | R1 × R2 | Alle Kombinationen von Zeilen |
+| **Umbenennung** | ρ_Alias(Relation) | Relation oder Attribute umbenennen |
+| **Vereinigung** | R1 ∪ R2 | Tupel aus beiden Relationen zusammenfassen |
+| **Differenz** | R1 — R2 | Tupel aus R1, die nicht in R2 vorkommen |
+
+**Wichtig:** Dieser Satz ist **vollständig** — alle anderen Operatoren lassen sich durch diese ausdrücken.
+
+---
+
+## 2. Operatoren im Detail (Folien 4–15)
+
+### 2.1 Selektion σ (Folie 4)
+
+Filtert Zeilen einer Relation anhand eines Prädikats. Das Prädikat wird für **jede Zeile** geprüft.
+
+**Beispiele:**
+```
+σ_{Semester > 10}(Studenten)
+→ Ergebnis: MatrNr 24002 (Xenokrates, 18), MatrNr 25403 (Jonas, 12)
+
+σ_{Name = 'Sokrates'}(Professoren)
+→ Ergebnis: PersNr 2125, Sokrates, C4, Raum 226
+```
+
+### 2.2 Projektion π (Folie 5)
+
+Wählt bestimmte Spalten aus einer Relation aus.
+
+```
+π_{MatrNr, Name}(Studenten)
+→ Ergebnis: Nur MatrNr und Name aller Studenten
+
+π_{Rang}(Professoren)
+→ Ergebnis: C3, C4 (Duplikate werden in relationaler Algebra eliminiert!)
+```
+
+**Wichtig:** In relationaler Algebra gibt es **keine Duplikate**, in SQL schon (deshalb `DISTINCT`).
+
+### 2.3 Zusammenhang Algebra ↔ SQL (Folien 6–7)
+
+| Relationale Algebra | SQL |
+|---|---|
+| **π** (Projektion) | **SELECT** |
+| **σ** (Selektion) | **WHERE** |
+
+**Beispiele:**
+
+| Anfrage | Algebra | SQL |
+|---|---|---|
+| Wie heißen die Professoren? | π_{Name}(Professoren) | `SELECT Name FROM Professoren;` |
+| Name des Studenten mit MatrNr 25403? | π_{Name}(σ_{MatrNr=25403}(Studenten)) | `SELECT Name FROM Studenten WHERE MatrNr = 25403` |
+| Studenten mit >6 Semestern? | π_{Name,MatrNr}(σ_{Semester>6}(Studenten)) | `SELECT Name, MatrNr FROM Studenten WHERE Semester > 6` |
+
+### Reihenfolge der Operatoren (Folie 7)
+
+**Grundsätzlich dürfen relationale Operatoren in zusammengesetzten Ausdrücken nicht vertauscht werden!**
+
+```
+π_{Name,MatrNr}(σ_{Semester>6}(Studenten))     ← korrekt
+σ_{Semester>6}(π_{Name,MatrNr}(Studenten))     ← FALSCH (Semester ist nach Projektion weg!)
+```
+
+### 2.4 Umbenennung ρ (Folie 8)
+
+Notwendig wenn:
+- Relationen gleich benannte Attribute besitzen, die beide in der Abfrage benötigt werden
+- Eine Relation **mehrfach** in einer Abfrage vorkommt (rekursive Beziehungen)
+
+**Umbenennung ist immer temporär (operatorbezogen).**
+
+```
+ρ_{Relation-Alias}(Relation)           ← Relation umbenennen
+ρ_{Attribut-Alias ← Attribut}(Relation) ← Attribut umbenennen
+```
+
+### 2.5 Vereinigung ∪ (Folien 9–10)
+
+**Voraussetzungen (Vereinigungskompatibilität):**
+- Gleiche Anzahl von Attributen
+- Attribute gleich benannt
+- Gleichnamige Attribute haben denselben Datentyp
+
+Zum Erfüllen der Kriterien können Projektion und Umbenennung verwendet werden.
+
+**Ergebnis:** Selbes Schema wie die Operanden, Tupel zusammengefasst, **Duplikate eliminiert**.
+
+```sql
+SELECT Name FROM Studenten UNION
+SELECT Name FROM Assistenten UNION
+SELECT Name FROM Professoren;
+```
+
+**Beispiel:**
+```
+R = { [1, abc, 1.5], [2, def, 2.3] }
+S = { [7, xyz, 4.4], [8, uvw, 6.7] }
+R ∪ S = { [1, abc, 1.5], [2, def, 2.3], [7, xyz, 4.4], [8, uvw, 6.7] }
+```
+
+### 2.6 Differenz — (Folien 11–13)
+
+**Gleiche Voraussetzungen** wie bei Vereinigung.
+
+**Ergebnis:** Selbes Schema, enthält Tupel aus R1, die in R2 **nicht** vorkommen.
+
+```
+R = { [1, abc, 1.5], [2, def, 2.3] }
+S = { [2, def, 2.3], [7, xyz, 4.4] }
+R — S = { [1, abc, 1.5] }
+```
+
+**SQL-Umsetzung:**
+```sql
+-- Variante 1: NOT IN
+SELECT Name FROM Studenten WHERE MatrNr NOT IN
+  (SELECT DISTINCT MatrNr FROM hoeren);
+
+-- Variante 2: MINUS
+SELECT MatrNr FROM Studenten
+MINUS
+SELECT DISTINCT MatrNr FROM hoeren;
+```
+
+### 2.7 Schnittmenge ∩ (Folie 14)
+
+Die Schnittmenge ist **kein Grundoperator**, kann aber abgeleitet werden:
+
+```
+A ∩ B = A — (A — B) = B — (B — A)
+```
+
+**SQL-Umsetzung:**
+```sql
+-- Variante 1: INTERSECT
+SELECT gelesenVon AS PersNr FROM Vorlesungen
+INTERSECT
+SELECT PersNr FROM Professoren WHERE Rang = 'C4';
+
+-- Variante 2: IN (falls INTERSECT nicht verfügbar)
+SELECT gelesenVon AS PersNr FROM Vorlesungen
+WHERE PersNr IN
+  (SELECT PersNr FROM Professoren WHERE Rang = 'C4');
+```
+
+### 2.8 Kartesisches Produkt × und Join (Folie 15)
+
+Komplexe Abfragen nutzen das kartesische Produkt mit anschließender Selektion (**Equi-Join**):
+
+**Anfrage:** "Welche Studenten hören welche Vorlesungen?"
+
+```
+π_{s.Name, v.Titel}(σ_{h.VorlNr=v.VorlNr ∧ s.MatrNr=h.MatrNr}(
+    Studenten s × Vorlesungen v × hoeren h))
+```
+
+Oder ausführlich mit expliziter Umbenennung:
+```
+π_{s.Name, v.Titel}(σ_{v.VorlNr=h.VorlNr ∧ h.MatrNr=s.MatrNr}(
+    ρ_s(Studenten) × ρ_v(Vorlesungen) × ρ_h(hoeren)))
+```
+
+---
+
+## Zusammenfassung
+
+| Operator | Symbol | SQL-Entsprechung | Grundoperator? |
+|---|---|---|---|
+| Selektion | σ | WHERE | Ja |
+| Projektion | π | SELECT | Ja |
+| Kartesisches Produkt | × | FROM (Cross Join) | Ja |
+| Umbenennung | ρ | AS | Ja |
+| Vereinigung | ∪ | UNION | Ja |
+| Differenz | — | MINUS / NOT IN | Ja |
+| Schnittmenge | ∩ | INTERSECT / IN | Nein (ableitbar) |
+| Join | ⋈ | JOIN ... ON | Nein (σ + ×) |